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一、计算题

1． 设

【答案】因为

所以

此分布的变异系数、偏度系数和峰度系数分别为

由此可见:指数分布的变异系数、偏度系数与峰度系数均与参数无关. 它永远是正偏尖峰.

2． 设随机变量X 服从（一1, 2）上的均匀分布，记

试求Y 的分布列. 【答案】因为.

表

2

3． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入c （c>0）个同色的球. 试证:第k 次取到黑球的概率为

【答案】设事

件则显然有

为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，记

. 下用归纳法证明.

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，对k=l，2, 3, 4, 求与进一步求此分布的变异系

数、偏度系数和峰度系数.

，所以Y 的分布列为

设，则由全概率公式得

把k 次取球分为两段:第1次取球与后故有

类似有

所以代入（1）式得

由归纳法知结论成立.

4． 从1, 2, 3, 4, 5五个数中任取三个，按大小排列记为

（1）X 的分布函数； （2）

.

•，所以X 的分布函数为

，令

，试求:

次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，

次取到黑球，

这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第

【答案】（1）因为X 的分布列为

（2）

5． 设有k 台仪器，已知用第台仪器测量时，测定值总体的标准差为些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到应取何值，方能使

【答案】若要使

设伩器都没有系统误差. 问

成为的无偏估计，且方差达到最小？

的无偏估计，即

则必须有

此时，

因此，问题转化为在令

的条件下，求

由

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.

用这

的极小值.

得到

从①中可以得到

代入②中，解出

从而

6． 将两封信等可能地投入编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个邮筒中, 设X , Y 分别表示投入第Ⅰ号、第Ⅱ号邮筒中信的数目, 求:

（1） （2）（3）

的联合分布, 并判断时X 的条件分布律；

的分布.

是否相互独立？

【答案】 （1）由题设可知, X , Y 的可能取值为0, 1,

2.

{两封信均投入第Ⅲ邮筒}{两封信分别投入第Ⅱ、Ⅲ邮筒}{两封信均投入第Ⅱ邮筒}{两封信分别投入第Ⅰ、Ⅲ邮筒}{两封信分别投入第Ⅰ、Ⅱ邮筒}

{两封信均投入第I 邮筒}

故

的联合分布律为

表

1

；

;

；

；

；

;

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