2018年河北工程大学农学院611数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设:
是从正态总体
中抽取的样本，试求样本均值
的标准差.
此
【答案】来自正态分布的样本均值仍服从正态分布，均值保持不变，方差为原来方差的 处总体方差为9，样本容量为8，
因而的标准差为.
2． 从（0, 1）中随机地取两个数，求其积不小于3/16, 且其和不大于1的概率
【答案】设取出的两个数分别为X 和Y ，则（X , Y ）的联合密度函数为
因为
的非零区域与
的交集为图阴影部分
.
图
所以
3． 进行独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率为
【答案】
记
试问能以
的把握保证1000次
且
试验中事件A 发生的频率与概率相差多少？此时A 发生的次数在什么范围内？
为1000次试验中事件A 发生的次数，
则
设事件A 发生的频率与概率的差为k , 根据题意，可得如下不等式
或
利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和修正项可得
由此得
查表得
从中解得
这表明在1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不小于
次间，即在223次到277次间.
都服从区间（0, 1）上
或者说，在1000次试验中事件A 发生的次数在
4． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证:的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
的可能取值范围是（0, 1），且
是严格单调减函数， ，所以
的密度函数为
即
，知
也服从区间（0, 1）上的均匀分布. 结论得证.
5． 设随机变量X 的分布函数为
其反函数为
试求
【答案】X 的密度函数为
»
所以
1
由此得
6． 设
是来自几何分布的样本，总体分布列为
的先验分布是均匀分布
.
（1）求的后验分布；
（2）若4次观测值为4, 3, 1, 6, 求的贝叶斯估计. 【答案】 （1）样本和的联合密度函数为
，于是
因此，的后验分布为
，若采用后验期望估计，
（2）当有观测值为4, 3, 1, 6时，的后验分布为则有
7． 某新产品在未来市场上的占有率X 是仅在区间（0, 1）上取值的随机变量，它的密度函数为
试求平均市场占有率.
【答案】这里平均市场占有率就是E （X ）
.
8． 设二维随机变量
（1）（2）
【答案】（1）因为又因为
所以
的联合密度函数如下，试求
的协方差矩阵.
可分离变量，所以X 与Y 相互独立，由此知