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一、计算题

1． 掷一颗骰子两次, 求其点数之和与点数之差的协方差.

【答案】记X 为第一次掷出的点数, Y 为第二次掷出的点数, 则X 与Y 独立同分布,

即有

由此得

2． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布

试求X 的特征函数. 【答案】设由上一题知

其中

是相互独立同分布的随机变量, 且都服从参数为p 的几何分布

所以X 的特征函数为

3． 学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.

（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2; （2）学生知道正确答案的概率是0.2.

【答案】记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则按题意

有

（1）此时有

所以由贝叶斯公式得

（2）此时有

所以由贝叶斯公式得

4． 设随机变量X 服从正态分布N （10，9），试求

【答案】一般正态分布

和

间满足关系式：

, 则

的特征函数为

又因为

的p

分位数与标准正态分布的p 分位数

所以

5． 某工厂每月生产10000台液晶投影机, 但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为80%, 为了以99.7%的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片, 试问该液晶片车间每月至少应该生产多少片液晶片？

【答案】设每月至少应该生产n 片液晶片, 其中合格品数记为X , 则有使下述概率不等式成立

利用二项分布的正态近似, 可得

查表可得

由此解得

即每月至少应该生产12655片液晶片.

是样本，试求未知参数的最大似然估计.

已知；

的似然函数为

要使

达到最大，首先示性函数应为1，其次是

尽可能大. 由于c ＞0, 故

是的单调增由此给出的最

函数，所以的取值应尽可能大，但示性函数的存在决定了的取值不能大于大似然估计为

（2）此处的似然函数为

其对数似然函数为

由上式可以看出，限制然方程

是的单调增函数，要使其最大，μ的取值应该尽可能的大，由于

将

关于求导并令其为0得到关于的似

6． 设总体概率函数如下，

（1）（2）（3）

【答案】（1）样本

. 下求m

这给出的最大似然估计为

解之

（3）设有样本于θ的单调递减函数，要使得到

其似然函数为

达到最大，应尽可能小，但由限制

因而的最大似然估计为

由于

的主体

是关可以

, 这说明θ不能小于

7． 为了研究本厂产品垫片与国内外同类产品在耐磨性能上的差别，特选国外一家产品、国内两家产品与本厂产品进行磨损试验，其试验数据用磨损率表示，它是愈小愈好. 磨损率的计算公式是

具体数据如下表所示：

表

1

试在正态分布假设下对比四家同类产品的磨损率均值有无显著差异，若有显著差异，再作多重比较（取

）.

【答案】首先计算各平方和

把这些平方和转移至如下方差分析表上，继续计算

表

2

对给定的显著性水平可查表得由于故因子A 显著，即

下先要计

四个工厂的磨损率的均值间存在显著差异. 接着应进行多重比较.

由于各水平下的重复数不同，故选用S 法进行多重比较. 为此在显著性水平算各临界值