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一、证明题

1． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

2． 设

是来自泊松分布

的一个样本.

在显著性水平为时给出其拒绝域；

（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题

的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；

（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1）泊松分布

的充分统计量是，它是的无偏估计. 若原假设

成立，

则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设

所以此检验的拒绝域应有如下形式

其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定

或

由于原假设成立下

则由

可得

不是一件易事.

（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为

其中m 为如下整数

考察

的单调性，为此求其导数

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即A ，B 相容.

（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题

故

若令泊松分布

的

分位数为这里

的寻求还

所以在给定理时，该检验的拒绝域为

所以势函数

大.

（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时

对给定的显著性水平有

即拒绝域W 中的临界

值

即当n=10时，若

3． [1]如果

试证: （1）（2）[2]如果

【答案】（1

）因为

时

即

（2）先证

明

成立, 进一步由

. 对任意

的

成立, 对取定的M , 存在N , 当

这时有

从而有

由

的任意性知

同理可证

由上面（1）得

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是的严格増函数. 由此可知，

在原假设

上

在处达到最

的渐近分布

譬如

，，n=10

和时，

有

则应拒绝原假设

是直线上的连续函数, 试证:

,

故当

,

有成立. ）, 使

有

可得所以又有

取M 足够大（譬

如

时, 有

即[2]若对任意的

成立.

是m 次多项式函数, 即

取M 充分大,

使有于是有

则由题[1]知有

,

又选取

下证一般情况,

充分大,

使当

时,

有

对取定的M ,

因为是连续函数,

所以可以用多项式函数去逼近

, 使得

当

因为

并且在任意有限区

时,

有

所以存在

使当

间上还可以是一致的, 因而存在m 次多项

式

对取定的m 次多项式

时, 有

又因为

当又因为

且

所以

从而有

由

的任意性即知

, 结论得证.

4． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

5． 设

是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，

时, 有

（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是

的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为

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