2017年西北师范大学数学与统计学院620数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若
【答案】因为于是当n>N时，有
2． 设
在区间上有界，记
因为
即
对
由
知
：
是使得
存在聚点，则必是惟一的，且为
中含有无穷多个
的确界。
令
时
，
存在
则当
同理
则对任一正整数k , 有
所以，对于任给
所以
存在N , 当n>N时，
因此证明
【答案】
对
而
|的一个上界.
使得.
综上所述：
3． 设
为单调数列. 证明：若则
0, 按聚点的定义，
于是
聚点，则必是惟一的。
假设在：
使
按上确界定义知综上，若
无界，则
的确界。
有聚点，必惟一，恰为
即任给
存在正整数
当
时，
于是小于M 的只有由聚点定义，必存
有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，
故
有界. 对任给的
所以
所以有
从
【答案】
设是一个单调递増数列.
假设
中只能含有
是它的两个不相等的聚点，
不妨设
中的点，设
中有穷多个点，这与是聚点矛盾. 因此，若
二、解答题
4． 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积：
，绕x 轴
绕x 轴；
绕极轴；
绕y 轴。
【答案】
为心形线方程，它在极轴之上部分的参数方程式为
于是
（4）由
得
则
5． 求下列函数的周期：
（1）
（2）
（3）
的周期的周期是的周期
.
4和6的最小公倍数是12,
故 做
的周期是
【答案】（1）
（2）由tanx 的周期是可知，（3
）
的周期
的周期是
6． 考察函数
在点(0, 0) 处的可微性. 【答案】由偏导数定义知，
同理可得
由于
所以f 在点(0, 0) 处可微.
7． 求曲线绕直线旋转所成的曲面的表面积.
，则曲面的表面积为
【答案】这是星形线，充分考虑到对称性
8． 应用高斯公式计算三重积分所确定的空间区域。
【答案】
9． 设f (X ) 存在连续的导函数，有
试求：
【答案】作球坐标变换
则
于是有
其中V 是由与