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一、证明题

1． 试证：在原点(0, 0) 的充分小邻域内，有

【答案】设

则

故

2． 设函数f (x ，y ) 在点

(1) 试证：存在的邻域(2) 试证：得

(即将y 视为常数，对f (x , y ) 关于x 求驻点). 也就是说，找由方程，

在点又

由

时

(2) 由定义及f 在点

的邻域内满足隐函数存在定理的全部条件，因此在

可确定惟一的连续可微函数x=x(y ) 满

足及其连续性知，存在充分小

的g (y ) =f(x (y ) , y ) .

的可微性，有

其中1

1时注意到

因此

是有意义的). 及

有界，由式(1) 可知，

(因为x=x(y )

在

的小邻域内连续，所以当

使

当

由已知条件，方程点

所确

的邻域内二次连续可微，且

使对任何

能求得f (x , y ) 关于x 的一个极小值g (y ) ;

【答案】(1) 对给定的y ，要求f (x ，y ) 关于x 的极小值，按照求极值的步骤，应对y 找出x 使定的隐函数x=x(y ) , 使得

的某个邻域内由方

程

. 这表明f (x ，y ) 关于x 在点(x (y ) , y ) 处取得极小值，记为g (y ) , 即

3． 设b]上逐点收敛且具有性质：

在[a，

在[a, b]上一致收敛.

且5时，有

上逐点收敛，即

.

在

上等度连续，

如果

对所

有

s

上连续； 使得

当

使得

当

时，

有

且

用有限覆盖定理证明由

定理，得

【答案】由题设条件，知(Osgood 定理)

设函数列

则(1)

答:(1) 由对

成立；令(2)

由

由

于

在x 处连续

及时，有

于是这些区间的并

在

当

取极限得，

上是等度一致连续的，又

上一致收敛. 在有限闭区间在

上连续

，

在

上连续；(2)

上一致收敛于

上等度连续，得

时，不等

式由此得

对于任意

的

上等度连续，必存

在

构成的一个开覆盖，即

令

当

于是，当n>N时，这就说明了

对任意时，有

必存在

使得

对一切

成立.

中的某个开区间

在上一致收敛.

二、解答题

4． 对于函数

（1）证明：

不存在；

的可去间断点.

（2）说明点z=0不是【答案】（1）可求得

由于.

（2）由上面（1）可知，x=0是

不存在.

的跳跃间断点，不是

的可去间断点.

5． 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性：

(1) (2)

【答案】(1) 因为

*

所以(2) 因为

由拉贝判别法，当x>1时原级数收敛；当x<1时原级数发散；当x=1时，原级数化为也发散.

6． 应用中值定理估计积分

【答案】

由于在

使得

从而

7． 设

（1）证明：

是极小值点；

，故由拉贝判别法可得原级数收敛.

的值.

上连续，据中值定理知：存