2017年暨南大学信息科学技术学院810高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同. 2． 设
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可由线性表出.
3． 设向量组
线性无关，由秩可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 4． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
所以向量组
线性无关. 是（ ）二次型.
线性无关.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
二、分析计算题
6． 设A 是一个n 级复矩阵^n
是
的k 重根，则【答案】设
其中
互不相同，
（1）先证必要性. 设A 相似于对角阵，即存在可逆阵
则
所以秩类似可证
（2）再证充分性. 由于
因此在在在
的基础解系所含向量为中有
个
是A 的特征多项式，求证：A 可对角化的充分必要条件是如果的秩等于
且
使
那么
中，有个线性无关的特征向量为
个线性无关的特征向量为
中有个线性无关的特征向量为
而且不同特征值的特征向量又线性无关，令
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