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一、选择题

1． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.

故

但当a=l时，

2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

3． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若

由AB=0, 用

右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

使AB=0, 则（ ）

.

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

【答案】B 【解析】

当C.

时，由AB=0，左乘可得矛盾，从而否定A ，故选

4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

分别为A ，B 的伴随矩阵，

即

5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

从而否定A ,

若选

中选三个向量组

从而否定C ,

二、分析计算题

6． 设实二次型秩等于矩阵

证明：的

的秩.

【答案】方法1设矩阵A 的秩等于r , 将变量的足标及平方项的次序作适当调换. 可设A 的左上角r 级子式 不为0. 于是A 的前r 行线性无关，后

作可逆线性替换

行都是前r 行的线性组合.

原二次型化为

其中

都是

的一次齐次式. 考虑都有

因此这是所以原二

次型的秩也等于r. 方法

2

17题

知：秩

7． 设B 为一

（1）如果（2）如果【答案】（1）它只有零解. 故

即

故

矩阵，C 为一

那么那么

就有

的二次型

因为对不全为0的

的一个正定二次型，作为的二次型，它的秩为r.

这个二次型的矩阵是

的秩等于A 的秩.

矩阵，且秩

故

的每个列向量都是齐次方程组

于是

的解.

证明：

由

是

阵，这方程组中有r 个未知数. 又秩的基础解系的秩为