2017年江苏大学理学院602线性代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
为空间的两组基，且
又
则（ ）•
【答案】（C ）
【解析】令由②有
将①代入④得
即
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
3． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0
的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
第 2 页，共 39 页
.
）
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
4． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
【答案】B 【解析】
二、分析计算题
6． 设A 为n 阶非数量矩阵. 证明：
（1）若（2）若【答案】（1）设
且a ，b ，c 不全为0，则
若c=0，则aA=-bE.这与a ，b ，c 不全为0且A 非数量矩阵矛盾，因此反之，若
则由假设可得
从而
第 3 页，共 39 页
（2）由得A （A —E ）=0.若则得A=E.这与A 非数量矩阵矛盾. 故.
7． 作一个一元多项式，使它的各根分别等于
【答案】由0不是
的根，令
于是
故多项式
为所求.
8． 证明：非零实二次型f 可分解成两个实系数一次齐式相乘差是0.
【答案】设若
成比例，设
的根的倒数.
的秩是1或f 的秩是2且符号
则可对f 施行以下满秩线性代换
化成若
由于
故因此，此时f 的秩是1.
不成比例，
不妨设
与
不成比例，从而
则
此时可对f 连续施行以下两个满秩线性代换
得故此时f 的秩为2且符号差为0.
由于
的线性组合，故可知f 可分解为两个实系数一次齐式相乘.
反之，若f 的秩为1，则f 可通过实满秩线性代换X=PY
化为正规形
若f 的秩为2且符号差为0，则f 可通过实满秩线性代换X=CY化为
但由之积. 9． 设
求
的基与维数，其中
【答案】
设
第 4 页，共 39 页
知，都是的线性组合，从而可知f 是的两个一次齐式
得齐次线性方程组