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一、综合题

1． 设是不含原点的有界区域, 其体积为V , 边界为光滑的闭曲面, n 是的外法线单位向量, r= （x , y , z ）, f （x ）是

上的连续可微函数, 它满足微分方程

【答案】因为:r= （x , y, z ）的单位向量为位向量为

,

则

所以

2． 求下列方程组所确定的隐函数组的导数.

（1）（2）

（3）

,

求求,

求

对方程组两边x 求导, 得

解此方程组得

（2）方程组关于x 求偏导, 得

, 其中

, 的外法线单

. 求

【答案】（1）设方程组确定的隐函数组为

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解得:

方程组关于y

求偏导数,

得

解得

（

3）把u , v

看成x , y 的函数,

对x

求偏导数

解之得

3． 求曲线

,

所围平面图形（图）绕x 轴旋转所得立体的体积.

图

【答案】

4． 确定下列函数的单调区间:

（1）

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（2）（3）（4）

【答案】（1）（x ）递减.

.

；

. 故在

上,

, 导函数为:

递减; 在

.

,

上, 和

, f （x ）递减.

,

故

在定义域上恒正, f （x

）在

上均为单调递增.

（将积分区间十等分）.

.f （x ）递増 , 故在[0, 1]上,

递增;

. , f （x ）递增在

上,

f

（2）f （x ）的定义域为因此在

（3）f （x ）的定义域为在

（4）f （x

）的定义域为

5． 分别用梯形法和抛物线法近似计算

【答案】（1）梯形法（取n=10）

（2）抛物线法（取n=10）

6． 设f （X ）, g （x

）在

求证:

【答案】方法一在

.

上任取一个序列

, 使得

于是由

再根据序列极限与函数极限关系定理得方法二对即有

7． 利用函数

求解:

上定义, 且’

, 由题设则有

, 即

使得当

时, 有

对此

, 由

, 按定义

,

由

, 使得当xX 时, 有f （x ）L , 于是, 当xX 时, 有

（1）某系各班级推选学生代表, 每5人推选1名代表, 余额满3人可增选1名. 写出可推选代