当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

证明:当

时, u , v 可以用来作为曲线坐标,

和

并

解出x , y 作为u , v 的函数；画出xy 平面上u=l, v=2所对应的坐标曲线；计算验证它们互为倒数.

【答案】

所以

故当

时

,

都连续且

由反函数组定理知, 存在函数组x=x

（u , v ）, y=y（u , v ）, 从而u , v 可以用来作为曲线坐标.

由

解得

u=l, v=2分别对应xy 平面上坐标曲线y=tanx, y=2sinx; 如图1、2所示

图1 图2

因

而前面已算得

即

与

互为倒数.

2． 设f , g为D 上的有界函数. 证明:

（1）（2）

【答案】（1）对任意的

有

于是

故

（2）对任意的

有

于是

故

3． 利用柯西收敛准则证明下列数列收敛:

（1）（2）【答案】对

,

其中

.

, 由于（不妨设m>n）

而（2）对

, 所以存在正整数N , 当n>N时有

. 即数列{Xn }收敛.

, 由于（不妨设m>n）

. 且;

,

于是当m>n>N时有

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

取

, 则当

m>n>N

时有

, 所以数列{Xn }收敛.

二、解答题

4． 设

在点a 连续,

, 求

和

. 问在什么条件下

存在？

【答案】

故当且仅当

5． 设有力向

【答案】

此即为求曲线积分

由Stokes

公式,

其中S 为C 围成的平面z=4上椭圆面, 方向为上侧, 由于

所以

令所以

6． 设曲面

S

由方程

【答案】在球坐标变换:

, 其参数方程为

时

, 存在.

, 试求单位质量M , 沿椭圆

移动一周（从z

轴正向看去为逆时针方向时）, 力F

所作的功.

:平面, 故

,

则, 且

所确定

, 求曲面S 的面积.

之下, 曲面S 的方程是