2018年中山大学数学与计算科学学院663数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 讨论下列函数在
（1）（2）（3）
【答案】⑴当x>0时
当
时
.
因此（2）当当（3）当当当取
时
则时, 时, 时, 不存在.
时,
故故对即对于任给的并且当
. 由时, 由
得即
可知
因此得
不存在. 取
时的极限或左、右极限:
2． 有一等腰梯形闸门. 它的上、下两条底边各长为10米和6米, 高为20米. 计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.
【答案】如图所示, B 、C 的坐标为（0, 5）和（20, 3）于是BC 的方程为
深度为X 处水的静压强为pgx , 闸门从深度x 到故
这一窄条
上受到的静压力为
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图
1
3．
设
, 记
其中
是关于x 的多项式
, 求
和
.
【答案】由莱布尼茨公式, 有
由此可知,
和
所以
4． 求下列函数在x=l处的泰勒展开式:
（1）（2）（3）【答案】（1）
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所以f （x ）在x=l处的泰勒展开式为
（2）因所以
（3）因
所以
5． 若f （x ）在
【答案】
设
只要取
即f （x ）在
, 又因为f ）（x ）
在
. 则有
内有界.
6． 求下列函数在给定区间上的最大最小值:
【答案】（1）由于（2）令于是, 当t=1, 即（3
）
时
,
值不存在.
故函数在, 故舍去, 由
知
, .
, .
时, 函数取最大值1. 又因
,
由
得稳定
点
,
当.
又因
’, 最小值不存在.
时
,
;
当. 故最大
, 由方程, .
,
得稳定点
.
上连续, 所以存在
使得
内连续, 且
则
对
存在, 求证:f （x ）在, 存在X0, 使得当xX 时
,
内有界.
即
有
而
这
在x=0处的幂级数展开式为
比较它们的大小知, 函数在x=－1处取最小值－10, 在x=1处取最大值2.
处取最小值, 最小值为
二、证明题
7． 设f （x ）在
（1）若
上连续, 0