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一、填空题

1． 已知幂级数

【答案】（-3, 1） 【解析】由于幂级数

半径R=2不变，故收敛区间为（-3, 1）。 2． 直线L ：

【答案】【解析】设有

又因

即

由此式得

（2）式代入（1）式中，得

即

3． 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:

（l ）f （x ）在点x 0可导是f （x ）在点x 0连续的_____条件，f （x ）在点x 0连续是f （x ）在点x 0可导的_____条件。

f （2）（x ）在点x 0的左导数条件。

（3）f （x ）在点x 0可导是f （x ）在点x 0可微的_____条件。

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的收敛半径为2，则幂级数的收敛区间为_____。

可由幂级数逐项求导和平移得到，则其收敛

，绕直线L 1：

旋转一圈所产生的曲线方程是_____。

是1上的一点，当L 绕L 1旋转时，M 0旋转到

此时

及右导数都存在且相等是f （x ）在点x 0可导的_____

【答案】（1）充分，必要 （2）充分必要 （3）充分必要

4． 已知向量_____。

【答案】1

【解析】由题意知，令

，则

又

，则

，故

要求r 取最小值，则可求

的极值。故令且 5． 曲面

【答案】

，解得

时，r 取到极小值，也是最小值，此时r=1.

和平面y=0的交线绕x 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为_____。

绕x 轴旋转一周所得的曲 在

点

处的散

度

则当c 满足条件a=b×c 时，r 的最小值为

【解析】本题可看作是在在二维坐标系xOz 中，求解曲线面方程，则所求旋转曲面方程为

6． 向量

场

_____。 【答案】2 【解析】

7． 与积分方程

【答案】注：1°方程

等价的微分方程初值问题是_____。

的积分上限x 是积分方程的变量，它是与y 相对应的；而积分表达

式中f （x , y ）dx 中的x 是积分变量，不能将它与积分上限相混淆，故积分方程应理解为

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2

°由于积分方程

后，有恒等式然，当

时，

确定了隐函数

因此积分方程中的y 取

即

显

于是上式两端对x 求导，就得

即

8． 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:

（1）数列{xn }有界是数列{xn }收敛的_____条件。数列{xn }收敛是数列{xn }有界的 _____条件。

（2）f （x ）在x 0的某一去心邻域内有界是在x 0的某一去心邻域内有界的_____条件。 （3）f （x ）在x 0的某一去心邻域内无界是与 在x 0的某一去心邻域内无界的_____条件。 （4）f （x ）当件。

【答案】（l ）必要，充分。 （2）必要，充分。 （3）必要，充分. （4）充分，必要。 9．

【答案】【解析】

。

10．设

【答案】2011 【解析】级数

的部分和数列为

则

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存在的_____条件。 存在是f （x ）

的_____条件，都存在且相等是

是f （x ） 存在_____条

时的右极限及左极限

=_____。

=

，则级数的和为_____。