当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明:若函数f 在点, 使

.

内不存在使

, 使得

. 这与假设矛盾. . 再由f

可得

*

故

2． 证明:若正项级数

收敛, 且数列

单调, 则

, 存在N , 当n>N时, 有

故

从而

又从而

3． 通过对F （x , y ）=sinxcosy施用中值定理，证明对某

【答案】在

则

即

.

第 2 页，共 48 页

上连续, 且,

, 则当

, 则在

时,

内至少有一

（或

【答案】用反证法. 如果在

）总成立. 否则, 若存在

值定理, 存在

设当

, 使得时,

. 根据连续函数的介

这与题

设矛盾. 故

在内至少存在一

点

使

【答案】因为正项级数又由

单调可知

收敛. 故由柯西收敛准则, 任意的正数

发散）, 从而

必单调递减（否则级数

, 故

，有

中，令

4． 证明:若的此,

（2）若在N , 使得以对一切

因此

为递增（递减）有界数列, 则

为递增有界数列, 根据确界原理,

因为

是递增的, 所以当于是,

当

时

,

有下确界. 令时,

即

时,

又问逆命题成立否? 有上确界. 令

即, 则对任给的又因为a 是

这个数列则对任给

又因为n 是

的. 因存

【答案】（1）若存在N , 使得

上界, 所以对一

切

为递减有界数列, 根据确界原理,

因为

是递减的, 所以当于是, 当n>N时.

的下界, 所

（3）逆命题不成立, 一个收敛到确界的数列, 不一定是单调数列,

例如收敛到它的上确界1, 但

5． 证明:

（1）（2）【答案】（1）设界为M. 若记

则

注意到

攸敛, 利用优级数判别法可知,

在[0, 1]上一致收敛.

不是单调数列.

. 因为

所以

在[0, 1]上连续并且有界,

由逐项积分定理, 有

（2） （2）的证明包含在（1）的证明之中.

6． 设

（1）（2）（3）若

为有界数列, 证明:

s , 则

第 3 页，共 48 页

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

（4）若

’

则为有界数列知

.

也是有界数列, 故

并存在子列

与

.

使得时有

, 即

（2）

设

于是, 此时有

由

的任意性可得

*

即（3）设使得当

时, 有

由定理知, 对任给的

, 由此得

同理可证

, 使得’因此

, 又存在另一子列

使得

, 存在正整数N ,

,

由

定理知, 对任给的

存在N , 使得当

时,

有

由上、下极限的保不等式性可得

都存在.

设

并且存在子列

【答案】（1

）由于是, 对于,

使得

则对任意>0, 存在N , 使得当

n>N时有

, 任给

, 存在正整数N , 使得当

按上极限、下极限的定义有,

由上、下极限的保不等式性有由的任意性可知. （4）存在

的子列

二、解答题

7． 应用凸函数概念证明如下不等式:

（1）对任意实数a , b, 有（2）对任何非负实数

a , b , 有

【答案】（1

）令定义中的（2）

. 因,

则有

,

恒成立, 故是

. , 当

时,

, 从而

即

是

上

. 上的凸函数,

的凹函数. 故由定义可知, 对任意非负实数a , b, 有

第 4 页，共 48 页