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一、证明题

1． 设f 为傅里叶系数, 证明

【答案】因为f

为又

故

即

2． 设f 为定义在

上的连续函数, a 是任一实数,

证明E 是开集, F 是闭集. 【答案】对任一点存在

的某邻域

故E 为开集. 下证F 是闭集.

设

是F 的任一聚点, 则存在F 的异点列

使

且f （x , y ）在P 0连续,

从而

3． 证明公式

【答案】

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2

因为f 在R 连续, 从而由连续函数的保号性知,

上的光滑函数, 且为f 的傅里叶级数为f 的导函数的

上的光滑函数, 所以f （x ）在上有连续的导函数

使当

时

即

从而

由

故F 为闭集.

可见

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4．

设f （x ）在（a

, b ）内可导,

使得

且

【答案】取y>0足够大, 使得

则有

再由拉格朗日定理,

使得

联合（1

）式与（2）式, 即得 5． 证明:

对

成立.

这样就将问题转化为求令

解之可得, 在D 的内部有惟一驻点（1, 1）, 且注意到,

和,

,

所以f （x , y ）在D 的内部最大值为下面求f （x , y ）在D 的边界上的最大值. 在y=0上, 令最大值为

. 综上, f （x , y）在

D 上的最大值为

, 即

; 可得驻点

.

此时f （0, 0）=0,

. 因此, f （

x , y ）在y=0上的

在区域

上的最大值.

【答案】将原不等式变形为

, 且

’, 求证:

,

同理, f （x , y ）在x=0上的最大值为

6． 设f 为

（1）（2）

上的连续函数, 证明: 在在

上收敛；

上一致收敛的充要条件是f （1）=0.

上连续, 故f 在

上有界, 设

【答案】 （1）因f 在

第 3 页，

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所以即在上收敛, 且收敛于

（2）必要性 由

可得其极限函数g （x

）在充分性 可考虑将因为f （l ）=0, 故当当

时,

在

分成两部分讨论

.

上连续及在

上一致收敛,

上连续, 从而

.

又因f （x ）在x=l处连续, 故对任意

存在

时, 有

故对上述的当n>N时,

任意的

存在N , 当n>N时, 对一切

有

故

总有在

所以,

上一致收敛.

二、解答题

7． 设f （x ）在

[a, b]上连续, 且有惟一最小值点x 0

. 若

【答案】假设仍记为

,

使

则

在.

显然

中可选取子列

且

, 满足于是

,

这与最小值点的惟一性矛盾.

8． 求螺旋面

【答案】由于所以曲面积为

9． 试确定级数你的结论.

【答案】由

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.

由于这个子列有界, 由致密性定理, 可从它中再选取一个收敛子列,

的面积.

,

, .

,

的收敛域. 又问:该级数在收敛域内是否一致收敛? 是否连续? 是否可微? 证明