2017年上海理工大学光电息与计算机工程学院831高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求向量
面流向外侧的通量。
【答案】通量
2． 计算斯托克斯公式，计算下列曲线积分：
（1）
，其中为圆周
，若从x 轴的正
通过闭区域
的边界曲
向看去，这圆周取逆时针方向；
（2）
，其中为椭圆
，若从x 轴正向看去，这椭圆是取逆时针方向；
（3）
圆周是取逆时针风向；
（4）
圆周是取逆时针方向。
【答案】（1）取为平面法向量为
（图1）
由斯托克斯公式
的上侧被所围成的部分，则的面积为πa ，的单位
2
，
，其中是圆周，若从z 轴正向看去，这
，其中是圆周，若从x 轴正向看去，这
图1 图2
（2）如图所示，
取
为平面
的上侧被
所围成的部分
，
的单位法向量
。由斯托克斯公式
现用两种方法来求解法一：由于域的面积=πa ，故
2
的面积A ，而
在xOy 面上的投影区
解法二：用曲面积分计算法。 由于在上，
，则
又
，故
将所求得的代入①式，得
（3）取为平面z=2的上侧被所围成的部分，则
的单位法向量为面上的投影区域D xy
为
，于是由斯托克斯公式
在xOy
（4）即为xOy 面上的圆周
，取为圆域
的上侧，则由斯托克斯公式
3． 利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积:
（1）星形线（2）椭圆（3）圆
【答案】（l ）正向星形线的参数方程中的参数t 从0变到2π，因此
（2）正向椭圆
的参数方程为
t 从0变到2π。
相关内容
相关标签