2017年上海交通大学理学院(数学系)828高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求直线
在平面
上的投影直线的方程.
【答案】作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.
设过直线得由得
. 代入平面束方程，得
的平面束方程为
. 因此所求投影直线的方程为
2． 用比值审敛法判定下列级数的收敛性:
【答案】（1）因（2）因（3）因（4）因
故级数发散。 故级数收敛。
故级数收敛。
故级数收敛。
3． 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为需求函数分 别为
和，销售量分别为和，
总成本函数为
试问:厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大? 最大总利润为多少? 【答案】解法一:总收入函数为
总利润函数为
由极值的必要条件，得方程组
解此方程组，得。
时，
由问题的实际意义可知，厂家获得总利润最大的市场售价必定存在，故当厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为
解法二:两个市场的价格函数分别为
总收入函数为
总利润函数为
由极值的必要条件，得方程组
解此方程组得。
由问题的实际意义可知，当大，其最大总利润为
4． 求函数
【答案】
，即时，厂家所获得的总利润最
在点的泰勒公式。
函数为2次多项式，三阶及三阶以上的各偏导数均为零。又
将以上各项代入泰勒公式，便得
5． 求平行于向量a=（6，7，﹣6）的单位向量.
【答案】向量a 的单位向量为
，故平行于向量a 的单位向量为
其中
6． 求下列方程所确定的隐函数的导数
（1）（2）（3）（4）
，从而
其中
。
【答案】（1）在方程两端分别对x 求导，得
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