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一、选择题

1． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果

的伴随矩阵为（ ）.

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

且

所以

2． 设行列式

则分块矩阵

为A.1 B.2 C.3 D.4

，则方程，

的根的个数为（ ）

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

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有两个根

3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似

【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A

与B 合同，但不相似.

4

． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】

阶方阵，且秩

秩

有无穷多解 必有惟一解

必有非零解

秩A , 则线性方程组（ ）.

所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B

则A 与B （ ）.

5． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使.

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

其中

则PAQ=B

D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B

二、分析计算题

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6

． 设证明:

是一个复系数多项式，是的所有系数换成其共轭复数后所得到的多项式，

是实系数多项式； 则

【答案】①设其中②由故

③反证法. 若故

也是反之，若

但

有实根的根，这与

无实根，

则

，故

知：

且首系数都是1，故则由

得矛盾.

不—

定互素.

例如，

*

就是一例.

7． 解线性方程组

其中

是互不相等的常数

则

由克莱姆法则此方程组有唯一解，且由

并令

. 反之亦然.

. 从而由①知：

.

即

是一实系数多项式.

无实根，问：反之如何？

. 两边取共轭，并根据其轭复数性质得

【答案】设系数行列式为