2017年山东大学数学学院825线性代数与常微分方程之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、填空题
1． 微分方程
【答案】
这是一个齐次型方程，
设
代入可得特解为
得到通解为
满足
的解为_____。
【解析】
方程的标准形式为
C 为任意常数，再将初始条件
2． 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:
（l ）f （x ）在点x 0可导是f （x ）在点x 0连续的_____条件，f （x ）在点x 0连续是f （x ）在点x 0可导的_____条件。
f （2）（x ）在点x 0的左导数条件。
（3）f （x ）在点x 0可导是f （x ）在点x 0可微的_____条件。 【答案】（1）充分，必要 （2）充分必要 （3）充分必要
3． 若级数
【答案】发散 【解析】如果与题设矛盾。
4．
=_____。
【答案】ln2 【解析】
收敛，
收敛，
发散，则级数
=_____。
及右导数
都存在且相等是f （x ）在点x 0可导的_____
5． 设函数z=z（x , y ）由方程
【答案】【解析】设
确定，则=_____.
，则
所以
又z （1, 2）=0，得
6． 已知曲线L 为圆
【答案】【解析】圆
的参数方程为
7． 曲线
【答案】【解析】将量为
代入曲线方程得
对应于
，为曲线上
处对应的点，对应的切线的方向向
点处的切线为_____。
在第一象限的部分，则
=_____。
即
。故该切线方程为。
8． 设曲线
【答案】216π 【解析】
，取逆时针方向，则_____。
解法一：再用参数方程化为定积分：
解法二：为了去掉绝对值，把C 分成两段：配上坐标轴部分，分别构成闭曲线
，分别位于上半平面与下半平面，并
则有
，均为逆时针方向，见下图。
其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了。
围成的区域记为
，它们的面积相等为3π。在
解法三：直接利用对称性 C 关于x 轴对称，于是原积分=
对y 为偶函数，则。
上用格林公式得
二、计算题
9． 求旋转椭球面
【答案】令
上点
处的切平面与XOY 面的夹角的余弦。
，曲面的法向量为
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