2017年山东科技大学信息科学与工程学院833高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设反常积分
【答案】因为收敛，即
绝对收敛。
收敛。证明反常积数
，由于
绝对收敛。 收敛，
也收敛，因此
2． 设抛物线y=ax2+bx+c通过点（0，0），且当x ∈[0, 1]时，y ≥0。试确定a ，b ，c 的值，使得抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小。
2
，可得c=0。 【答案】由已知条件：抛物线y=ax+bx+c通过点（0，0）2
抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为
2
从而得到
，即
。该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为
因此当b=2时体积最小，此时此抛物线满足y ≥0, 故所求解：
3． 一金属棒长3m ，离棒左端xm 处的线密度的质量为全棒质量的一半。
【答案】[0, x]一段的质量为总质量为m （3）=2，要满足
4． 求空间曲线积分
交线，从x 轴正向看去取逆时针方向。
【答案】解法一：L
的方程是
L 的参数方程是
按L 的定向t 从0到2π，于是代公式得
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，抛物线为
，b=2，c=0符合题目要求。
，在区间[0, 1]上，
。问x 为何值时，[0，x]一段
，求得
。
与平面
的
，其中L 是圆柱面
其中
解法二：L 是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分。 圆柱面所截平面y=z-1
部分记为化为上的第二类曲面积分，有
，按右手法则取上侧，用斯托克斯公式，将曲线积分，J
在xy 平面的投影区域易求，即
将此曲面积分J 投影到xy 平面化为二重积分，则
。
的方程为
解法三：L 是母线平行于z 轴的柱面与平面的交线，可投影到xy 平面上，然后用格林公式。由L 的方程
，L 在xy 平面上的投影曲线记为
，相应
地也取逆时针方向，于是代入积分表达式得
其中D xy ，
是所围的圆域。
5． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。
【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线
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；
（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕
，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为
6． 求下列含参变量的积分所确定的函数的极限：
【答案】
二、证明题
7． 验证函数
【答案】因为
故
8． 设f （x ）, g （x ）都是可导函数, 且
分析:要证x>a时, 即要证亦即要证【答案】取由故从而即当x>a时, 9． 设
【答案】
，而
为可导函数，证明:
, 证明:当x>a时
,
（
是常数）满足关系式:
。
即当x>a时函数F （x ）单调减少, G （x ）单调增加。因此
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