2017年山东科技大学信息科学与工程学院833高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 把星形线
所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体体积。
，
，则所求体积为曲线y=y（x ）与x 轴所围【答案】记x 轴上方部分星形线的函数为y=y（x ）成的图形绕x 轴旋转而成，故有
由于星形线的参数方程为
2． 求抛物线
及其在点
处的法线所围成的图形的面积.
2
，所以对上述积分作换元x=acost ，便得
3
【答案】用隐函数求导方法，抛物线方程y =2px两端分别对x 求导，得故法线斜率为k=-1，从而得到法线方程为
即得，
，因此所求面积为
（如图所示）
图
3． 设
存在，求下列函数的二阶导数
。
【答案】
4． 设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D 如下，求指定的转动惯量：
（1）
求I y ；
（2）D 由抛物线（3）D 为矩形闭区域【答案】（1）
与直线x=2所围成，求I x 和I y ；
求I x 和I y 。
令
，换元，则
（2）如图所示，
（3）
图
5． 设有摆线
试求：
（1）L 绕x 轴旋转一周所得旋转面的面积； （2）L 上任意点处的曲率； （3）L 与x 轴所围平面图形的形心【答案】（1）由于则该旋转面的面积为
。
，
由曲率公式，L 上任意点处的曲率为
（3）由平面图形的形心公式，有
当
时
对应
，相应地
，则