2018年北华大学数学与统计学院902数学综合[专业硕士]之数学分析考研核心题库
● 摘要
目录
2018年北华大学数学与统计学院902数学综合[专业硕士]之数学分析考研核心题库（一） .... 2 2018年北华大学数学与统计学院902数学综合[专业硕士]之数学分析考研核心题库（二） .... 8 2018年北华大学数学与统计学院902数学综合[专业硕士]之数学分析考研核心题库（三） .. 12 2018年北华大学数学与统计学院902数学综合[专业硕士]之数学分析考研核心题库（四） .. 18 2018年北华大学数学与统计学院902数学综合[专业硕士]之数学分析考研核心题库（五） .. 23
第 1 页，共 27 页
一、证明题
1．
设
在
上可微,
且对于任何
有
求证:对任何正整数n ,
有
其中M 是一个与x 无关的常数.
【答案】由定积分的性质及积分中值定理有
其中
又因为
在
上可微, 所以由微分中值定理可知, 存在
使得
因此
2． 证明
【答案】对任意的数
3． 证明定理:.
【答案】定理:
若
）时.
则对任给的
于是当
存在
.
使得当
时, 也有
第 2 页，共 27 页
由不等式则当
得时, 有
限制时
, , 即
故. 当
时, 函
其
中取
在
上是严格减函数.
于是当
即
&
同理可得
并且
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
则对任给的
（即
取
存在）时有
, 则当
. 使得
. 而当
’ （即时, 总有
故
）时有
二、解答题
4． 利用迫敛性求极限
:（1）
【答案】（1
）因为
于是
而
由迫敛性得
（2）因为
所以当
时
又因为
（2）所以当
时
由迫敛性得
5． 写出下列级数的乘积
:
（1）（2）
【答案】（1）级数得第n 条对角线和
第 3 页，共
27 页
与级数
在
时均绝对收敛, 从而可按对角线相乘,
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
下面考虑n 的奇偶性
原式（2）因
收敛, 故级数
与
均绝对收敛, 按对角线相乘得
所以, 原式=
6． 设f （x ）在
=1
上可积, 则
【答案】先证明事实上, 由定）且
,
根据A —法
,
时,
有
特别地, 有
由f （x ）在又因为于是,
上可积可知, 它在所以对上述, 当
时, 有
第 4 页，共 27 页
在
收敛（即
. 上一致收敛. 关于y 一致收敛）, 及
关于x 单调（
固
在上一致收敛. 于是
, ,
当
上有界, 即
. , 当
时,
, 有
有