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一、解答题

1． 用区间表示下列不等式的解:

（1）（3）（4）显然, 当当

即

综上, 原不等式的解为（2）显然, 当一个数是于是先求解不等式组于是原不等式的解集为

（3）由于

故可将不等于a 、b 、c （它们不是原不等式的解）的实数划分为4

个部分

都不变号, 由此可得原不等式的解集

的解集是

k 为整数.

用区间表示为

解得

时, 原不等式总成立.

（2）

【答案】（1）原不等式可化为

时, 原不等式可化为

的解时, 它的相反数也是不等式的解. 即

, 解得

当x 在其中任一部分中变化时, 为

（4）由单位圆中的正弦线可得

2． 计算第二型曲面积分

其中S 是平行六面体

（h （z ）为S 上的连续函数.

【答案】设平行六面体在yz , zx , xy 平面上的投影区域分别为

, 则有

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g （y ））的表面并取外侧为正向, f （x ）、、

3． 对下列各函数计算

【答案】（1）（2）（3）

4． 求函数

在该点切线方向导数.

【答案】因曲线过点（1, 2, ﹣2）, 所以M 的切线方向的方向余弦为:

而

, 因此,

因此因此

.

,

,

在点M （1, 2, ﹣2）处沿曲线

于是

故曲线在点

故所求方向导数为:

5． 设f （x , y）为定义在平面曲线弧段

（1）试证明

是否成立? 为什么?

使

这里

为

的弧长, 又f （x , y ）在

上恒大于零, 则

（2）不一定成立, 如取 6． 设

. 求证:当

时, 有

【答案】方法一:由已知条件得

整理化简得

方法二:先由y 的表达式, 解出

, 再两边取微分, 得

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上的非负连续函数, 且在

上恒大于零.

（2）试问在相同的条件下, 第二型曲线积分【答案】（1）由题意知, 存在点

, 所以由①知

.

=1, 则为从A （0, 0）到B （0, 1）的直线段, 取f （x , y ）

7． （

1）求表面积一定而体积最大的长方体；

（2）求体积一定而表面积最小的长方体.

【答案】（1）设长方体的长、宽、高分别为x , y , z , 表面积为限制条件为:

设

令

解得

因所求长方体体积的最大值, 且稳定点只有一个, 所以最大值定而体积最大的长方体是正立方体.

（2）设长方体的长、宽、高分别为z , y , z , 体积为v , 则表面积件:xyz=u

设

令

解得

故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.

8． 应用函数的单调性证明下列不等式:

（1）（2）（3）

【答案】（1）令所以f （x ）在（2）先证明再证

令

内严格递增.

时, 则

, 即,

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则体积为

故表面积一

限制条

;

. 则

又因f （x ）在x=0连续, 所以当

, 令

则

格递增. 又因为f （x ）在x=0连续, 所以

. 故 于是在

内, f （x ）严

.