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一、计算题

1． 在R 上给定

及函数

证明:无界函数f （x , y ）在【答案】作

的部分

上可积.

, 令

, 则

为了估计上界, 把分成三类:以（0, 1）为心, 以为半径的圆记作U , 整个落在U 内的归作第一类; 不完全落在U 内的, 要么整个落在正方形

要么整个落在

上, 归作第三类. 容易看出

令

, 得

故 2． 计算

, 其中S 为圆锥表面的一部分

这里为常数【答案】由于

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2

内, 归作第二类;

.

.

则

3． （1）叙述无界函数的定义;

（2）证明

为

上的无界函数;

上的无界函数.

使得

（3）举出函数f 的例子, 使f 为闭区间则称函数f 为D 上的无界函数.

（2）对任意正数M , 由于是, 取

无界函数.

（3）设

4． 设

【答案】

显然,

则

得

并且

【答案】（1）设f 为定义在D 上的函数. 若对于任意正数M , 都存在

故是上的

为上的无界函数

求

5． 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性:

（1）（3）（5）

【答案】（1）任意在

设

上一致收敛. （2）令

的部分和为S n 则任意

,

又

故

对任意

是单调递减的.

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（2） （4）

（6）因为

而级数

收敛, 所以

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又对任意故敛.

（3

）因为

均有

由狄利克雷判别法知

所以

上一致收

当r>l时, 因级数当r=l时

, （4

）因 （5）设即对任意故敛

.

（

6

）

时

时

.

收敛, 所以在

在

收敛, 所以则

上一致收敛

.

上不一致收敛. 在[0, 1]上一致收敛

.

•所以级数而

的部分和数列一致有界

, 且对任意

在

上一致收

:是单调递减的. 又

, 由狄利克雷判别法可知

x=0

时, 于是

所以

6． 求极限

【答案】由可得

于是,

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在上不一致收敛.

,