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一、证明题

1． 设f 为

上的奇（偶）函数. 证明:若f 在

则

上增, 则f 在

上增（减）. , 并

且

于

是

【答案】

设

如果f 为奇函数, 则

即f 在即f 在

上为增函数. 如果f 为偶函数, 则

上为减函数.

与有

在（0, 1）内都是单调不减的. 试证:f （x ）

, 即

知对

, 有

.

在式（1）中, 令

. 得

由式（2）、式（3）知, 连续.

由 3． 设

【答案】由

知

且

又因为

减有下界的. 所以, 数列两边求极限, 得到

收敛. 令

解得

由

知

即

数列

是单调递

证明:数列

收敛, 且其极限为

的任意性知, f （x ）在（0, 1）内连续.

. 类似地可证:

, 从而f （x ）在

点

2． 设f （x ）在（0, 1）内有定义, 且函数

在（0, 1）内连续.

【答案】这表明

令

得

所以

, 即

.

由

可知, 对

都存在. 又由

. 对（极限保号性）

舍去负根, 因此,

二、解答题

4． 设

【答案】对方程组

关于x 求导得

解之得

5． 计算曲面积分所围的立体的表面的外侧.

【答案】设S 1, S 2, S3分别为S 的上、下底面和圆柱侧面, 则

记S 1+S2在xOy 平面上的投影区域为D xy , 则

在S 3上,

而S 3在yOz 平面上的投影区域D yz :

故

从而曲面积分

6． 设f （x ）在

上连续,

求T n （x ）（即确定系数最小.

【答案】设a n , b n 为f （x ）在

上的傅里叶系数, 而

试求

, 其中S 是曲面及两个平面z=R, z=-R （R>0）

）, 使均方差

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上式第一、三项为常数. 由此可见, 当且仅当

时最小,

最小值

7．

设

（i ）在（ii ）在试证明

【答案】先证明条件（ii ）, 存在因此, 当令不妨设下面证明

对于当

因为

且 y 与y 0充分接近时, 可使

再将y 固定, 由条件（i ）, 存在因此

8．

设

【答案】如果存在某证明如下:由又由以当

时,

即

当所以

. 在何种条件下能由此推出, 使得在知, 对任给的

, 使得当从而

的某邻域

上有定义, 且满足: . , 存在极限

都有

存在. 当时,

且

时, 且

有

, 根据柯西准则, 可证

存在.

就有

（即对任意成立）

.

存在

当

在点

1上, 对每个

上, 关于x 一致地存在极限

时, 对所有x , 只要

由条件（i

）得

利用（ii ）及前面的结论,

时,

有

?

,

则由题设条件能推出使得当

时, 有即

时, 由于

内

, . 存在

. 所

, 对上面的, 存在