2018年辽宁师范大学数学学院数学系850数学分析[专业硕士]考研强化五套模拟题
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一、证明题
1． 定义双曲函数如下:
双曲正弦函数
双曲余切函数
证明:
【答案】（1）（2）（3）
（4）
2． 设
【答案】由
知
且
又因为
减有下界的. 所以, 数列两边求极限, 得到 3． 设
（1）（2）若
【答案】（1）因为于是当
时, 有
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双曲余弦函数
双曲正切函数
证明:数列收敛, 且其极限为
即
收敛. 令
解得
由
知
数列是单调递
. 对（极限保号性）
舍去负根, 因此,
证明:
（又问由此等式能否反过来推出则
所以对于任意的
存在正整数
, 当
时, 有
）;
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其中存在正整数
使得当
时, 有
取
则当
时, 有
故
由这个等式不能推出（2）根据极限保号性, 由由平均值不等式有
由（1
）的结论可得
再由迫敛性得
如果
则
因此, 由迫敛性得
4．
设
【答案】
由
5． 设
证明对于这样的当
故
所以对任给的
时,
, 存在
使得当因此
时
. 综上所述,
有证明:
代入得
且
例如
可得
如果
但
那么
不收敛.
. 又因为
所以对上面的
【答案】因为
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6． 证明二重积分中值定理.
【答案】中值定理:若f 为有界闭域D 上的连续函数, 则存在
因为f 在D 上连续, 所以f 在D 上一定存在最大值M 与最小值m , 对D 中一切点有:
可知:
即
再由定理知, 存在
, 使得
,
,
, 使得
二、解答题
7． 求极限
【答案】记
.
则
即
而
,
故
.
8． 设在坐标轴的原点有一质量为m 的质点, 在区间试求质点与细杆之间的万有引力.
【答案】如图所示, 距原点x 处, x 与
之间的质量产生的引力为
故
图
9． （1）叙述无界函数的定义;
（2）证明
为
上的无界函数;
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（a>0）上有一质量为M 的均匀细杆.