2017年四川师范大学数值计算方法之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设的渐近分布为
是从均匀分布U （0, 5）抽取的样本, 试求样本均值的渐近分布.
【答案】均匀分布U （0, 5）的均值和方差分别为5/2和25/12, 样本容量为25, 因而样本均值
2． 设某元件是某电气设备的一个关键部件, 当该元件失效后立即换上一个新的元件. 假定该元件的平均寿命为100小时, 标准差为30小时, 试问:应该有多少备件, 才能有0.95以上的概率, 保证这个系统能连续运行2000小时以上？
【答案】记为第i 个元件的寿命, 如下不等式
再由林德伯格-莱维中心极限定理可得
由此查表得
, 从中解得
, 所以取
, 即应有23个此种元件, 可
. 则
, 根据题意可列
有0.95以上的概率保证这个系统能连续运行2000小时以上.
3． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且试求
【答案】因为
所以
，试问：随着的增大，概率
4． 设随机变量X 服从正态分布化的？
【答案】因为
是如何变
所以随着的増大，
概率是不变的.
5． 从一批产品中抽检100个，发现3个不合格，假定该产品不合格品率的先验分布为贝塔分布Be （2, 200），求的后验分布.
n-x+200）. 这里n=100, x=3, 【答案】根据不合格品率的共轭先验可知，的后验分布为Be （x+2，所以，的后验分布为Be （5, 297）.
6． 有两个班级同时上一门课, 甲班有25人, 乙班有64人. 该门课程期末考试平均成绩为78分, 标准差为14分. 试问:甲班的平均成绩超过80分的概率大、还是乙班的平均成绩超过80分的概率大？
【答案】
记绩
,
为甲班第i 个学生的成绩
, 因为
为乙班第j 个学生的成所以由林德伯格-莱维中心极限
定理, 甲班平均成绩超过80分的概率为
同理可计算乙班平均成绩超过80分的概率为
所以甲班的平均成绩超过80分的概率大.
7． 设总体X
的分布函数为
是来自总体的简单随机样本，（1）求
量；（3）是否存在常数a ，使得对任意的
都有
其中为未知的大于零的参数
，
；（2）求
的极大似然估计
【答案】（1）由题意，先求出总体X 的概率密度函数
（2）极大似然函数为则当所有的观测值都大于
零时
，
（3）由于可知
令
得
的极大似然估计量为
独立同分布，显然对应的
由辛钦大数定律，
可得
也独立同分布，又有（1）
再由（1）（2）可知，
故存在常数使得对任意的都有
8． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.
【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l次，所以“正面数等于反面数”是不可能事件，由此得S=A.又由事件A 与B 的对称性知P （A ）=P，因此P （A ）=0.5.这里对称性起关键作用. （B ）
二、证明题
9． 如果
【答案】记因为令而
由M 的定义即可知当
_时, 有
因而
10．设
为来自
, 由的任意性知的i.i.d 样本，其中
）.
两个参数空间分别为
利用微分法，
在
下
于是似然比统计量为
, 试证:
与X 的分布函数分别为
, 故存在, 因为
, 使当, 故存在
和时, 有
使当
, 时, 有
. 对任给的
取足够大的
和
使
是F （x ）的连续点, 且
, 所以有而对于
结论得证.
未知. 证明关于假设
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
【答案】记
样本的联合密度函数为
分别为的MLE.
而在
下的MLE
为