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一、解答题

1． 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比，如果物体在20min 内由100°C 冷却至60°C , 那么，在多长时间内，这个物体由100°C 冷却至30°C? 假设空气的温度为20°C.

【答案】设物体在空气中时刻t 的温度为T=T（t ）,

则依牛顿冷却定理得

其中k 是比例常数.

两边积分，

得通解为

由于初始条件T （0）=100, 得C=80,

所以

将t=20, T=60

代入上式后即得

故当T=30时，

有

冷却至30°C.

2． 求微分方程的通解

：

即从中解出t=60min, 因此，在1h 内，可使物体由100°C

【答案】

积分得

还有解

和

其中含于通解中.

3． 证明如果在闭矩形域D

上

之不成立. 存在且连续，

则在D 上关于y 满足利普希兹条件，反

【答案】因为在闭矩形域D

上

有存在且连续，

所以在区域D 上有界，

即

成立，利用中值定理

，

其中

是介于之间的点，命题得证.

，

取以原点为中心的矩形域

在反之不成立，

因为对于方程

无导数，

但

故在D 上关于y 满足利普希兹条件.

4． 求满足下列关系式的函数y （x ）.

（1

）

（2

）

【答案】（1）给方程两端关于x

求导得

则求解积分方程

就等价于求解初值问题

解上面微分方程得其通解为

即

满足初始条件的解为

（2）给方程两端关于x

求导得

对上方程两端关于x

再求导得

这样，

求解原积分方程

就等价于求解初值问题

方程是伯努利方程，

两端同除以，

变形为

即

解之得方程的通解为

即

故满足初始条件的解为

5．

求解方程

【答案】方法一

令

上式两端关于x 求导，

得

整理后得到

即有

将或

代入（1）,

得原方程的一个特解

代入（1），

得到原方程的通解

方法二 令t=lnx, 则：

代入原方程得又由方程

解得方程变为

这是关于y ，t 的克莱罗方程，

所以通解为

或

回代变量得原方程得通解为

6．

设

的解

，

是常系数线性齐次方程组的分量都是次数，

奇解为

，

奇解为的多项式，但至少有一个分量是f 的t 次多项式，

证明向量组

^都是方程组（1）的解.

是方程组（1）的线性无关解组. 【答案】先证明

由于方程组（1）的解，

则有

即

其中表示单位矩阵.

由易得