2018年沈阳师范大学软件学院602数学基础之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量（x ，y ）的联合密度函数为
试求（1）边际密度函数
；（2）x 与y 是否独立？
【答案】（1）因为P （x ，y ）的非零区域为图的阴影部分，
'
图
所以，当-l ，当0 ，因此Y 的边际密度函数为 这是贝塔分布（2）因为 2． 若 【答案】 3． 设随机变量X 服从区间与Y 不相关，即X 与Y 无线性关系. 【答案】因为即X 与Y 不相关. 4． 设随机变量X 服从区间（0, 2）上的均匀分布，（1）求Y=X2的密度函数；（2） 【答案】X 的密度函数为 第 2 页，共 35 页 ， ，所以X 与Y 不独立. 其中 试求 上的均匀分布， 则X 与Y 有函数关系. 试证:X . 所以 . （1）其反函数为 的可能取值区间为（0, 4）. 因为 ，所以 在区间（0, 2）上为严格单调增函数， 的密度函数为 （2） 5． 对于已知的正态总体, 要使均值的大？ 【答案】由又由方差则有 6． 总体 间的长度不大于k. 【答案】由己知条件得的0.95置信区间为 其区间长度为由于 ，故 时，才能保证，若使 ，只需， ， 的置信水平为 的置信区间的长度不大于k. ，而掉在上. ，和置信度 , 知 的置信区间为 , 故 , 即 的置信区 , , 置信区间长度不大于 , 抽取样本容量n 至少为多 已知，问样本容量n 取多大时才能保证的置信水平为 即样本容量n 至少 7． 钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1. 试求找到钥匙的概率. 【答案】记事件为“钥匙掉在宿舍里”，为“钥匙掉在教室里”，为“钥匙掉在路上”，事件B 为“找到钥匙由全概率公式得 8． 验证:泊松分布的均值的共轭先验分布是伽玛分布. 【答案】泊松分布的概率函数为其密度函数为对来自泊松分布 的样本 ， 的后验分布为 第 3 页，共 35 页 ，若的先验分布为伽玛分布， 即的后验分布为的共轭先验分布. 9． 设 【答案】 若令 可得 再令 ，可得 当k 为偶数时，当k 为奇数时，. ，仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值 ，求 10．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率. 【答案】这是一个配对问题. 以记事件“第i 个战士拿到自己的枪”，i=l，2, …，n. 因为 所以由概率的加法公式 得 第 4 页，共 35 页