2018年西安科技大学理学院612数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:定义在
上的函数项级数
满足定理条件, 且
在[a, b]上一致收敛, 并且每一
项收敛（0 判别法知级数 都连续, 这 里一致收敛, 且 【答案】定理的条件要 求 由于在 • 而正项级数连续, 且由定理有: 2． 证明公式: , 这里续函数. 【答案】设S 为球面 , 则有 考虑新坐标系O-uvw , 它与原坐标系O-xyz 共原点, 且O-vw 平面为O-xyz 坐标系的平面, mx+ny+pz=0, Ou 轴过原点且垂直于该平面, 于是有 在新坐标系O-uvw 中 , . , . 证明:存在 【答案】因为 因而取 , 则函数F 和G 在[a, b]上满足柯西中值定理的条件. 于是 第 2 页，共 24 页 . , , f （t ）在时为连 这里的S 仍记为中心在原点的单位球面, 将S 表示为: 则dS=dudw, 从而 3． 设函数f 在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且 , 使得 存在, 使得 4． 设 【答案】由 知 且 又因为 减有下界的. 所以, 数列两边求极限, 得到 收敛. 令 解得 由 知 即 数列 是单调递 证明:数列 收敛, 且其极限为 . 对（极限保号性） 舍去负根, 因此, 二、解答题 5． 设 【答案】 求 6． 设f （x ）在区间I 上连续, 并且在I 上仅有惟一的极值点x 0, 证明:若而是f 的极大（小）值点, 则x 0必是f （x ）在I 上的最大（小）值点. 【答案】用反证法, 只对x 0是f 的极大值点的情形进行证明. 假设x 0不是f （x ）在I 上的最大值点, 则存在一点在 , 使 , 使得, 取 （不妨设 , 则当 . 由连续函数的最大最小值定理知, （f x ） ） 时 , , 即 是f 上存在最小值m. 因为 , 而x 0是f （x ）的一个极大值点, 所以存在 （x ）的一个极小值点, 这与在I 上仅有惟一极值点x 0矛盾. 故原命题成立. 7． 设S 是椭圆 面面, 的上半部分, 点 . , 为S 在点P 的切平 为点0 （0, 0, 0）到平面的距离, 求 【答案】设（X , Y , Z ）为上任意一点, 则的方程为 由此易知 由S 的方程 有, 第 3 页，共 24 页 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 于是 其中 : 是 S 在xOy 平面上的投影. 作极坐标变换容易求出 : 8． 求下列幂级数的收敛域: （1）（2 ） 【答案】（1）设 , 则 故收敛半径为（﹣R , R ）. （2）设 则: 故收敛半径为 又 所以原级数在 9． 若曲线以极坐标线积分: （1） 其中L 为曲线 的一段; 在圆r=a内的部分. 故（1）（2） 第 4 页，共 24 页 , 又当故原幂级数在时发散, 收敛域 时, 时发散, 故收敛域为 的公式, 并用此公式计算下列曲 表示, 试给出计算 （2）其中L 为对数螺线【答案】因L 的参数方程为且
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