2017年西安财经学院统计学院802西方经济学与统计学之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与-X 有相同的特征函数,
从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.
再证必要性, 若
, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数,
是实的偶函数.
由于-X 的特征函数为所以故
2． （格涅坚科大数定律）设是随机变量序列, 若记
所以得
, 即
先证充分性. 若
是实的偶函数, 则
又因
则
服从大数定律的充要条件是
【答案】先证充分性. 任对
注意到t>0时.
是增函数, 故当
因此有
所以当再证必要性. 设有
因为函数
时, 有
服从大数定律, 即
是增函数及
故则任对
服从大数定律.
存在N , 当, 得
由于的任意性, 所以
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时, 有
时,
3． 设是来自正态分布的样本, 证明,
在给定
是充分统计量. 的条件密度函数为
【答案】由条件,
它与 4． 设计.
【答案】由于
这就证明了
，是的相合估计.
独立同分布，
，证明：
是的相合估
无关, 从而
是充分统计量.
5． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：
[2]设随机变量X 取
值
【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为
同理可证，
由上题的结论知
[2]仿题[1]有
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的概率分别
是证明
：
6． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：
（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则
因此
所以得
又由
所以
（2）当c=0时，
又由
由此得结论.
7． 设（
【答案】
）是充分统计量.
的联合密度函数为
注意到
是已知常数, 令
取
由因子分解定理, （
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【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：
由此得
, 诸独立, 是已知常数, 证明
）是（）的充分统计量.