2017年西安财经学院统计学院801统计学之概率论与数理统计教程考研冲刺密押题
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一、证明题
1． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为
则
与的联合分布为
所以，
即成功概率p 的后验分布为分布族. 2． 设
是来自正态分布
的样本, 证明,
在给定
是充分统计量. 的条件密度函数为
故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔
【答案】由条件,
它与
无关, 从而
是充分统计量.
是随机变量序列, 若记
则
服从大数定律的充要条件是
【答案】先证充分性. 任对
注意到t>0时.
是增函数, 故当
因此有
所以当再证必要性. 设有
因为函数
时, 有
服从大数定律, 即
是增函数及
故则任对
服从大数定律.
存在N , 当, 得
由于的任意性, 所以
4． 试证：对任意的常数
【答案】于所以
5． 设总体
【答案】由于总体均方误差为
3． （格涅坚科大数定律）设
时, 有
时,
有由此得
由
是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
下存在优于的估计. 现考虑形如
的估计类，其
所以
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当时，最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.
6． 设
是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到
由此可见
是
的无偏估计.
当
较大时，
拒绝原假设
是合理的.
故对
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，
当
在原假设由等式
成立下，有
可得
记
是分布的
分位数，可得
确定. 为了确定c , 需要充分统计量
时
，
由此可
得
的分布.
或
者
利用分布的分位数可确定临界值c.