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一、计算题

1． 若一次电话通话时间X （单位：min ）服从参数为0.25的指数分布，试求一次通话的平均时间.

【答案】因为

2． 向

中随机投掷一点P ，求P 点到AB 的距离X 的数学期望、方差与标准差.

的高CD ，记CD 的长度为h （如图）

.

【答案】先求X 的分布函数，作

图

=0；，设X 的分布函数为F （X ）则当x<0时，有F （x ）当时，为了求概率

作

=1；时，有F （x ）而当

使EF 与AB 间的距离为x. 利用确定概率的几何方法，可得

综上可得

由此得X 的密度函数为

故X 与

的数学期望为

从而得X 的方差与标准差分别为

3． 40种刊物的月发行量如下（单位:百册）:

（1）建立该批数据的频数分布表, 取组距为1700百册； （2）画出直方图.

【答案】此处数据最大观测值为14667, 最小观测值为353, 由于组距为1700, 故组数为

所以分9组. 接下来确定每组区间端点, 要求

此处可取

于是可列出其频数频率分布表.

表

其直方图为

图

4． 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，选取了15个男子，（他们的生活条件各不相同）每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料A 做后跟，另一只以材料B 做后跟，其厚度均为10mm ，过了一个月再测量厚度，得到数据如下：

表

问是否可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿？ （1）设..

来自正态总体，结论是什么？

（2）采用符号秩和检验方法检验，结论是什么？

【答案】（1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，以记差值d 的均值，则需检验的假设为

由于

的P 值为

p 值小于0.05，在显著性水平0.05下可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿. （2）由于两个负的差值的秩分别为5和6.5，故符号秩和检验统计量为号在使用中是完全等价的），这是一个单边假设检验，

检验拒绝域为

下，查表13可知

A 制成的后跟比材料B 的耐穿，二者结果一致。

5． 连续地掷一颗骰子80次, 求点数之和超过300的概率.

【答案】记则

为第i 次投掷时出现的点数,

, 且

（正号和负

在给定

此处15个差值为

故可算出检验统计量值为

于是检验

观测值落入拒绝域，拒绝原假设，可以认定以材料

由林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为

6． 某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率.

【答案】这是一个配对问题. 以A ；记事件“第i 个战士拿到自己的枪”，i=l，2，…，n. 因为

所以由概率的加法公式

得