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一、计算题

1． 均质箱体A 的宽度b=lm, 高h=2m, 重P=200kN, 放在倾角的静摩擦因数

的斜面上。箱体与斜面之间

今在箱体的C 点系一无重软绳, 方向如图1所示, 绳的另一端绕过滑轮D 挂

一重物E 。已知BC=a=1.8m。求使箱体处于平衡状态的重物E 的重量。

图1

【答案】箱体有四种可能的运动形式, 分别为沿斜面向上滑动、沿斜面向下滑动、绕箱体一角向上或向下翻转四种可能。以沿斜面向上为x 轴, 垂直于斜面为y 轴, 建立如图坐标系。

（1）当箱体沿斜面向上滑动时, 以A 为研究对象, 受力如图2（a ）所示。

图2（a ）

由平衡方程

得

因为由平衡方程解得

所以得

（3）当箱体沿斜面向下滑动时, 以A 为研究对象, 受力如图2（b ）所示。

（2）当箱体绕B 点向上翻转时, 以A 为研究对象, 受力如图2（a ）中虚线所示。

图2（b ）

由平衡方程

得

因为由平衡方程解得

2． 一河流自北向南流动, 在北纬30°处, 河面宽500m , 流速为5m/s, 问东西两岸的水面高度相差多少？

【答案】取河流表面一小段为研究对象, 其受力和加速度分析如图 （a ）所示.

所以得

综上, 箱体可能的运动只有沿斜面向下滑和绕B 点向上翻转两种, 所以平衡时重物E 的重量为

（4）当箱体绕H 点向下翻转时, 以A 为研究对象, 如图2（b ）中虚线所示。

图

则科氏加速度为:

求水面的倾角, 如图 （b ）所示, 则有:

东西两岸的水面高度差为:

3． 推导第二类拉格朗日方程的过程中, 哪一步用到了完整约束的条件？

【答案】完整约束系统中, 约束条件不含速度, 任一点位置均可以用广义坐标表示为

则

4． （1）空间力系中各力的作用线平行于某一固定平面；（2）空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点。试分析这两种力系最多各有几个独立的平衡方程。

【答案】满足第一种情况的力系在垂直于该平面方向上的投影为零, 满足第二种情况的力系对两点连线的轴取矩为零, 所以两种力系最多均有五个独立平衡方程。

5． 证明在过阻尼振动状态下, 物体以任意的起始位置和起始速度运动, 越过平衡位置不能超过一次.

【答案】过阻尼状态下, 则自由振动解为平衡位置处x=0, 即

解得

对应于任意初始条件, 即任意cl , c2. 上式有唯一解.