2017年青岛大学师范学院880数学基础综合[专业硕士]考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1．
在R 上二次可导，
证明：
上恰有两个零点.
【答案】先证当因为
所以，当x 的绝对值足够的大的时候，不妨设当当同理，当由又由于 2． 设
并求【答案】
移项解得
同理
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在R
的时候，
.
时，
时，>的时候，可知
.
先单调减少，再单调递增.
各有一个零点.
为递增函数。所以
根据连续函数的零点存在定理知，
(
为正整数) ，证明：
移项解得
由上述结论可得
而
故
3． 利用单调有界原理证明确界原理.
【答案】
设是非空有上界的数集
，
确界.
若无最大值，
任取
否则记左半区间为
得一区间套
侧不含的点.
由S 的上确界.
首先
，
于是在
充分大时有
有
若不然，
则存在
使得
使得
因为的上界. 其次
，
所以存在正整数
由
使得
的右侧含有中的点，矛盾，
故
是于是存在
知，当n
数列
将，然后将单调递增，
是的一个上界. 若
有最大值，
则最大值即为的上
如此下去，
，往证为
二等分，
若右半区间含有的点，
则记右半区间为
二等分，用同样的方法选记单调递减，
且
使得
，
中含有的点，在的右
单调递增有上界，
所以存在
.
即为的上确界.
二、解答题
4． 计算下列积分：
【答案】(1) 被积函数
其中
见图
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图
(2) 被积分函数
其中
和
见图
的面积为
的面积与
相同，
的面积为圆面积去掉
和的面积，所以
5． 求由下列方程所确定的隐函数的极值
.
【答案】⑴令
则有
将
代入原方程得.
故当(2)
设令舍去.
再以
故稳定点为
而
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解此方程得
于是该函数的稳定点为±1, 且
时有极小值时有极大值1. 则
解得
代入原方程解得
或
以再将
代入原方程，得
这时
解得
故