2018年大连海洋大学生物学601高等数学Ⅰ之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 与B 均为n 阶矩阵，且A 与B 等价，则不正确的命题是（ ）。
A. B.
如果C.
如果【答案】A
【解析】BC 两项，按定义，A 与B 等价表明A 经初等变换可得到B ,
因而必有
如果
或
均表明A 可逆，因此B —定是可逆矩阵. 作为可逆矩阵可以只用行变换（或只
是初等矩阵.
用列变换）化为单位矩阵，
即所以
C 项，
当如
若用到某两行（列）互换，则行列式要变号，对
虽A 与B
等价
不能保证必有
例
则有可逆矩阵P 使PB=E 则B 是可逆矩阵
D. 有可逆矩阵P 与Q ，
使
D 项，因为A 与B 等价，故A 经若干次行、列初等变换得到B , 即
2． 下列矩阵中A 与B 合同的是（ ）。
A. B. C.
D. 【答案】C
【解析】由合同定义
：同号.
C 可逆. 知合同的必要条件是：且行列式
与
A 项，矩阵秩不相等；B 项中行列式正、负号不同，因此皆排除. C 项，矩阵A 的特征值为1, 2, 0, 而矩阵B 的特征值为1, 3, 0,
所以二次型
同的正、负惯性指数，所以A 和B 合同.
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与有相
D 项，矩阵A
的特征值为惯性指数不同而不合同.
3．
设向量组
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
两向量组等价
由
B 项，
只有三个向量A 项，
因C 项，
因
4．
设向量组（Ⅰ）
矩阵B 的特征值为-1, -2，-2，从而：与. 正、负
线性无关，则与向量组
等价的向量组是（ ）。
可以相互表出线性无关知
可排除.
线性相关线性相关
可由向量组
可由向量组
线性表示，则
故
可排除. 可排除.
等秩.
线性表示，则（ ）
A. 若向量组（Ⅰ）线性无关，
则B. 若向量组（Ⅰ）线性相关，
则C. 若向量组（Ⅱ）线性无关，
则D. 若向量组（Ⅱ）线性相关，
则【答案】A 【解析】
向量组
对选项A ，若向量组（Ⅰ）线性无关，
则 5．
要使
【答案】B
AC 两项，
【解析】因为即
D 项，
因为
因此排除.
不是方程组的解，因此排除.
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都是齐次线性方程组
的解，只要系数矩阵A 为（ ）。
线性无关，所以至少有两个线性无关的解，故
6． 设A 为四阶方阵，
且满足
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】由
于
则秩
秩
（ ）。
故
从而
又
故
二、填空题
7．
设二次型
【答案】[-2, 2]
【解析】由配方法可知，
又由于负惯性指数为1，
则必须要求 8．
与矩阵
【答案】
【解析】
设矩阵
可以交换的矩阵是_____.
其中
为任意实数 与矩阵A 可交换，即
即
亦即
故a 的取值范围是[-2, 2].
的负惯性指数是1, 则a 的取值范围是_____.
得
整理得齐次方程组
方程组对应的矩阵为
令解得
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