2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院604高等数学之高等数学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 有一杠杆, 支点在它的一端。在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（如图所示）, 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
【答案】如图, 设最省力的杆长为x , 则此时杠杆的重力为5gx ,
由力矩平衡公式
知
, 令
, 得驻点x=1。4, 又
, 故x=1.4为极小值点, 又驻
点惟一, 因此x=1.4也是最小值点, 即杆长为1.4m 时最省力。
图
2． 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
图
【答案】以侧面的椭圆长轴为x 轴，短轴为y 轴设立坐标系，则该椭圆方程为
，
取y 为积分变量，则y 的变化范围为[-0.75, 0.75]，对该区间内任一小区间[y，y+dy]，该小区间相
应的水深为0.75-y ，相应面积为，得到该小区间相应的压力
因此压力为
3． 设有一分布着质量的曲面，在点（x ，y ，z ）处它的面密度为面积分表示这曲面对于x 轴的转动惯量。
，【答案】设想将分成n 小块，取出其中任意一块记作dS （其面积也记作dS ）（x ，y ，z ）为dS 上一点，则dS 对x 轴的转动惯量近似等于
以此作为转动惯量元素并积分，即得对x 轴的转动惯量为
4． 计算下列反常积分：
（1）（2）
【答案】（1）x=0为被积函数
的瑕点，而
，用对面积的曲（x ，y ，z ）
故又
收敛。
，而
因此
故
（2）记被积函数为当α＞0时，令
，得到
故
，则当α=0时，
，因此当α≥0时，
，又
收敛。
5． 设
【答案】分别在
，试求
和
的两端对X 求偏导数，得
。
由以上方程组解得
从而
同理
分别在
的两端对y 求偏导数，得