2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院604高等数学之高等数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设
, 试证下列各题
【答案】
（4）
2． 求函数
【答案】因为因为
，
的图形的渐近线
，所以y=0是函数图形的水平渐近线。
所以
及
都是函数图形的铅直渐近线。
3． 某吊车的车身高为l.5m , 吊臂长15m 。现在要把一个6m 宽、2m 高的屋架, 水平地吊到6m 高的柱子上去（如图所示）, 问能否吊得上去?
【答案】如图, 设吊臂对地面的倾角为
知
令又
, 得, 故
, 即惟一驻点
为极大值也是最大值, 即当
时, h 达到最大值。
, 屋架能够吊到最大高度为h , 由
, 而柱子的高只有6m , 所以能吊得上去。
图
4． 设扇形的圆心角
，半径R=100cm（图）. 如果R 不变，α减少30’，问扇形面积大约改
变了多少? 又如果α不变，R 增加1cm ，问扇形面积大约改变了多少?
图
【答案】扇形面积公式
为
代入上式得又将
，
代入上式得
的近似值。
。
，
，于
是
，
将
5． 利用函数的微分代替函数的增量求
【答案】利用
，取x=0.02，得
6． 确定λ的值，使得在不经过直线y=0的区域上，曲线积分
与路径无关，并求当L 从点A （1, 1）到B
（1, 2）时I 的值。
【答案】由于曲线积分与路径无关，则
，即
。
解得，故当时，曲线积分与路径无关。即
7． 在图中所示电路中先将开关K 拨向A ，达到稳定状态后再将开关K 拨向B ，求电压电流
已知
及
图
【答案】由回路定律，
得
于
是
已
知
其特征方程为
且有代入初始条件解得
故、
得
8． 确定闭曲线C ，使曲线积分
达到最大值。
【答案】记D 为C 所围成的平面有界闭区域，C 为D 的正向边界曲线，则由格林公式
要使上式右端的二重积分达到最大值，D 应包含所有使被积函数
因
即
即
则且
有
故解得
微分方程
为
故
大于零的点，而不