2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 按定义讨论下列级数在所给区间上的一致收敛性：
（1）（2）
有
故
取
当n>N时，对一切
即该级数在（2）有和函数
且取一列使得
于是对
不论n 多大，总有
上一致收敛。
其部分和函数
有
【答案】（1）此级数为交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件。
因此，该级数在开区间（0, 1）内不一致内敛。
2． 判定下列级数是否收敛. 如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛
?
【答案】（1
）
且
（2）因对收敛.
（3）
敛，从而原级数绝对收敛.
（4
）敛法知级数
发散，又
是交错级数，满足
因
是发散的，
又
故由莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.
由比值审敛法知级数
是交错级数，
满足
收敛，故原级数绝
是公比的等比级数，故收
而是发散的，故由比较审
且
故由
莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.
（
5
）
故
级数发散。
3． 求下列函数的微分。
【答案】
（6）
由
即原级数的一般项
当
于
时不趋于零，故该
（7）
（8）
（9）
4． 对图所示的函数f （x ），下列陈述中哪些是对的，哪些是错的
?
图
（1）（2）（3）（4）（5）（6）对每个【答案】（1）错，（2）对，因为（3）错，（4）错，（5）对，因为（6）对
不存在；
不存在
存在。
存在与否，与f （x ）的值无关。
的值与f （0）的值无关。 但
，故
不存在。
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