2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院601高等数学之高等数学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 利用泰勒公式求下列极限:
【答案】（1）
（3）
2． 计算星形线
，的全长。
【答案】
3． 设
存在，求下列函数的二阶导数
。
【答案】
2
）
（
4． 交换下列二次积分的次序：
【答案】（1）所给的二次积分等于闭区域D 上的二重积分
，其中
，将D 表达式为
（图1）
则得
图1 图2
（2）所给二次积分等于二重积分
，其中
，
（图2）
D 可表达为
，于是
（3）所给二次积分等于二重积
分
（图3）。将D 表达
为
于是
，其
中，其
中
图3
5． 讨论方程
【答案】取函数令当当从而即当实根。
当根。
6． 设曲线积分条平面曲线，求：
（1）可微函数（2）求沿L 从原点
。已知到点
的曲线积分。
。
，其中L 为任意一
,
即
时,
曲线
与z 轴没有交点, 这时, 原方程没有实
, 得驻点时, 时, 为最大值, 又时, 曲线
, 即
, 因此函数, 因此函数
, 在在
内单调增加;
内单调减少。 , 故当
（其中a>0）有几个实根?
,
与x 轴仅有一个交点, 这时, 原方程有惟一实根。 时, 曲线
与x 轴有两个交点, 这时, 原方程有两个
【答案】（1）由于任意平面闭曲线的曲线积分都有，即曲线与积分路径无关。
，即
则等式两边x 的系数及不含x 的项应该相等，即