2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求下列各函数的定义域：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】
2． 试用幂级数求下列方程满足所给初值条件的特解:
【答案】（1）因
故设方程的特解为
，则
代入方程，有
；
即
比较系数，得
依次解得
故（2）因
故设
是方程的特解，则
即或写成
比较系数，得
或写成
故
3． 设函数f （x ，y ）满足t ）的光滑曲线，计算曲线积分
【答案】因为
将f （0，y ）=y+1代入，可得计算得
代入方程，有
且f （0，y ）=y+1，是从点（0, 0）到点（1，
并求
，所以
的最小值.
=y+1，所以
所以
，满足
所以积分
与路径无关，
是从（0, 0）到（1，t ）的光滑曲线，所以
（2）因为令
①当t ＞2时，②当t ＜2时，所以t=2时，
，，有最小值
，所以
，计算得t=2，则：
在在=2+1=3
上单调递增； 上单调递减.
4． 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少?
【答案】己知圆柱形油罐的表面积
令由此时
, 即:
, 得
,
, 知
为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。, 所以当底半径为
和高
时, 才能使表面
, 即
积最小。这时底直径与高的比为1:1。
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