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一、证明题

1． 记

证明

【答案】

由

得

2． 设

是总体

的简单随机样本，

记

（I ）证明T 是（II ）当【答案】（I ）

的无偏估计量； 时，求DT 。

故T 是

的无偏估计量。（II ）当

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时，

3． 从正态总体

中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明：不

，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布由于n=100，所以

故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

4． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

5． 对任意的事件A ，B ，C ，证明：

（1）（2）【答案】⑴

（2）因为

所以

6． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=

不相关但不独立. 【答案】因为

与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得

所以

这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

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管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

【答案】设的先验分布为中

其

则

证明:X 与不相关. 为证明X

所以X 与

不独立.

是方差一致有界的随机变量序列, 且当

任

对

存在M>0,

当

时,

一致地有

时,

有

7． （伯恩斯坦大数定律）设

证明:

【答案】

记

所以

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知

8． [1]设随机变量

[2]

设

【答案】利用变换

服从大数定律. ，求

，证明：

及偶函数性质可得

[2]在题[1]中令

即可得结论.

服从大数定律.

二、计算题

9． 在一时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是0.9，0.8和0.85，求一小时内

（1）没有一台机床需要维修的概率； （2）至少有一台机床不需要维修的概率； （3）至多只有一台机床需要维修的概率.

【答案】设事件A ，B ，C 依次表示甲、乙、丙三台机床需要维修. （1）（2）（3）

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