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一、证明题

1． 设

（1）（2）（3）

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

【答案】先求三个统计量的数学期望，

这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

不难看出

由此可推测。当用样本的凸组合

从而

的有效性最差.

则

估计总体均值时，样本均值是最有效的。

,

样本方差分别为

2． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为

, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

证明:

由得

3． 设随机向量（X , Y ）满足

证明:【答案】由所以

4． 设总体X 的分布函数F （x ）是连续的,

试证:

（1）（2）

（3）和的协方差矩阵为

其中

成立.

且是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量:

为取自此总体的次序统计量,

设

【答案】（1）由分布函数F （x ）的单调性可知, （0, 1）总体的次序统计量；

（2）是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量, 所以, 故

又由分布函数F （x ）的连续性可知, F （X ）服从均匀分布U （0, 1）, 故而^是来自均匀分布U

（3）和的联合分布函数为:

则

所以,

结合（2）可知, 和的协方差矩阵为:

5． 设由

可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证

明：样本相关系数r 满足如下关系

上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为

即

将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有

证明完成.

6． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有

（1）（2）（3）