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一、证明题

1． 如果

【答案】记因为令而

由M 的定义即可知当

_时, 有

因而

, 由的任意性知

结论得证.

2． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

, 所以有

而对于

, 试证:

与X 的分布函数分别为

, 故存在, 因为

, 使当, 故存在

和时, 有

使当

, 时, 有

. 对任给的

取足够大的

和

使

是F （x ）的连续点, 且

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

3． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.

【答案】因为

, 所以

令

则

的逆变换为

此变换的雅可比行列式为

所以（U , V ）的联合密度函数为

由此得U=XY的边际密度函数为

这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.

4． 设总体X 的分布函数为

【答案】设

经验分布函数为

试证

是取自总体分布函数为

的样本, 则经验分布函数为

若令于是

又

可写为

, 故有

5． 证明公式

其中

则

是独立同分布的随机变量, 且

【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出_

而对

k=0.

对

其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,

也为明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.

6． 设正态总体的方差为已知值，均值只能取或样本均值. 考虑如下柃验问题

若检验拒绝域取

为

（1）试验证：（3）当

【答案】（1）由于

从而在并且要求

这就证

两值之一，为总体的容量n 的

则检验犯第二类错误的概率

为给定时，有

（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？

时，样本容量n 至少应为多少？

故检验犯第二类错误的概率为

这给出

也即

从而在

（2）若n 固定，当减小时，而导致增大.

同理可知：当减小时增大.

这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.

（3）由

查表可得

于是

将

代入，有

即n 至少应为468.

7． 试证：对任意的常数

【答案】于

所以

由此得

有

由

就变大，由

为常量可知

就变小，从

给定时，有