2017年东北师范大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：对正态分布
若只有一个观测值，则
的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在
时趋于
这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，
从而
的最大
似然估计不存在.
2． 在伯努利试验中, 事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列, 其共同分布为
表
且
从而
又当
时, 与
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立, 故
服从大数定律.
3． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:
（1）（2）
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独立, 所以
（3）
【答案】（1）由（2）因为（3）
4． 证明:若与
【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为
则当
知
又由（1）知
所以有
时有由此写出E （F ）
, 其中. 由
且v 与W 相互独
容易算得
从而可得当r=l时, 只要
就有
在其他场合, 不存在.
当r=2时, 只要
就有
5． 任意两事件之并
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
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（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
6． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式. 7． 记
证明
【答案】
由
得
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