当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 把一颗骰子独立地掷n 次, 求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.

【答案】记

则1点出现的次数从而有

欲求

, 故先求

. 由于

且因为和

均为仅取0, 1值的随机变量, 所以

由此得综上可得

X 与Y 负相关是可以理解的, 因为在掷n 次骰子中, 1点出现次数多必使6点出现次数少.

2． 已知

【答案】

3． 对给定的n 组数据可以建立如下回归方程

反之，若我们关心的是x 如何依赖y 的取值而变动，则可以建立另一个回归方程

试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，它们有元交点？若有，试给出交点的坐标.

第 2 页，共 21 页

6点出现的次数

（第i 次投掷

时, 不可能既出现1点、同时又出现6点）, 因此当i=j时, 有

而当

时, 由于

与相互独立, 所以

若我们关心的是y 如何依赖x 的取值而变动，则

【答案】一般不重合. 因为回归方程可化为

而化为

当且仅当数据

4． 己知

时两条直线重合. 我们知道，

表示相关系数的绝对值为1，即n 组

1，2，…，n 在一条直线上，这在实际中极其罕见，所以说“一般不重合”.

不重合时，

它们一定有交点

【答案】由乘法公式知

所以

5． 一射手单发命中目标的概率为p （

）, 射击进行到命中目标两次为止. 设X 为第一次命

中目标所需的射击次数, Y 为总共进行的射击次数, 求（X , Y ）的联合分布和条件分布.

【答案】只论命中与不命中的试验是伯努利试验. 在一伯努利试验序列中, 首次命中的射击次数X 服从几何分布

, 即

其中p 为命中概率, 第二次命中目标的射击次数Y 服从负二项分布Nb （2, p ）, 即

由于X 与Y-X 相互独立, 所以条件分布

从而（X , Y ）的联合分布列为

另一条件分布

注:从以上条件分布列

可知:在已知第二次命中目标的射击次数为y 的条件下,

第 3 页，共 21 页

第一次命中目标的射击次数X 是在前面

6． 设总体密度函数为

（1）求g （θ）=1/θ的最大似然估计； （2）求g （θ）的有效估计. 【答案】（1）似然函数为

次射击中等可能的.

是其样本.

对数似然函数为

将对数似然函数求导并令其为0, 得似然方程

解之得

（2）令Y=-InX, 则

，从而有因此Y 〜Exp （θ）=Ga（1，θ）

于是

为求有效估计，需求出θ的费希尔信息量，注意到，lnp （x ，θ）=Inθ+（θ-1）lnx ,

于是

而

于是g （θ）的任一无偏估计的C-R 下界

为是g （θ）的无偏估计，且方差达到了C-R 下界，所以

从而是g （θ）

的有效估计.

7． 计算机在进行加法运算时对每个加数取整数（取最为接近于它的整数）, 设所有的取整误差是相互独立的, 且它们都服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布.

（1）若将1500个数相加, 求误差总和的绝对值超过15的概率；

（2）最多几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于90%. 【答案】记为第i 个加数的取整误差, 则

（1）由

且

得所求概率为

（2）由题意可列出概率不等式

利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可改写为

第 4 页，共 21 页