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一、选择题

1． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似

【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.

2． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当

时，

由

，用

使

则（ ）.

所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B

则A 与B （ ）.

右乘两边，可得

由

左乘

这与可得

矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，

故选C.

3． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果

的伴随矩阵为（ ）.

A.

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则分块矩阵

B. C. D. 【答案】B

【解析】由题设可逆，由于

且

所以

4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】

5． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则. 则

阶方阵，且秩

秩

有无穷多解 必有惟一解

必有非零解

秩A , 则线性方程组（ ）.

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解

有惟一解 只有零解 有零解.

C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】

未知量个数

二、分析计算题

6． 设

其中

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求初等行变换:

的维数, 并求其一基.

的一个极大无关组, 可以此五个向量为列作矩阵A , 并对A 施行

【答案】为求

由于

为其一基.

7． 设x 1, x 2, x 3是多项式

试求

，

而由牛顿公式得

即

而

所以有

8． 设

【答案】

应用辗转相除法可得

所以f （x ）有重因式. 又

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且由B 知, 第2、3、4列线性无关, 是极大无关组, 故的维数为3

且

的根

【答案】由韦达定理得

判断f （x ）是否有重因式，并求f （x ）的标准分解式.