2017年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令
, 证明:则
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
2． 设总体X 的密度函数为：
为抽自此总体的简单随机样本.
（1）证明：【答案】（1）令
即
的分布与无关，并求出此分布.
的置信区间.
则
的分布与无关，其密度函数为
由于从而求得
在
上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为
的置信区间为
（2）取c , d 使得
的密度函数为
（2）求的置信水平为
服从大数定律.
, 有
又设
为一列常数, 如果存在
常数c>0, 使得对一切n 有
【答案】不妨设
3 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:（0, 1）．相互独立.
【答案】设
则
所以
•由此得
和V=X/Y的联合密度为
所以
可分离变量, 即U 与V 相互独立.
4． 证明下列事件的运算公式：
（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有
5． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.
所以
6． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.
【答案】因为
证明：2P （ABC ）=P（AB ）
上式移项即得结论.
7． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=
不相关但不独立. 【答案】因为
与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得
所以X 与
8． 如果
【答案】记因为令而
由M 的定义即可知当
_时, 有
因而
, 由的任意性知
结论得证.
, 所以有
而对于
不独立.
, 试证:
与X 的分布函数分别为
, 故存在, 因为
, 使当, 故存在
和时, 有
使当
, 时, 有
. 对任给的
取足够大的
和
使
所以
这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
不相关. 为证明X
证明:X 与
是F （x ）的连续点, 且
二、计算题