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一、计算题

1． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 其密度函数为

（1）求U=X+Y与V=X/（X+Y）的联合密度函数（2）以上的U 与V 独立吗？ 【答案】（1）

的反函数为

变换的雅可比行列式

所以在（U , V ）的可能取值范围

（2）因为U 与V 各自的边际密度函数分别为

所以由

2． 设总体密度函数为

【答案】对数密度函数为

将上式对θ求导，得到

二阶导函数为

3． （泊松大数定律）设的概率为

为n 次独立试验中事件A 出现的次数, 而事件A 在第i 次试验时出现

则对任意的

, 有

【答案】记

则

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内, 有

知U 与V 相互独立.

x ＞c ，c ＞0已知，θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.

于是

所以由切比雪夫不等式, 对任意的有

即

4． 某种圆盘的直径在区间（a ，b ）上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积.

【答案】记X 为圆盘的直径，则圆盘的面积为

5． 对下列数据构造茎叶图

【答案】取百位数与十位数组成茎, 个位数为叶, 这组数据的茎叶图如下:

所以平均面积为

图

6． 甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷. 每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷. 试求第n 次由甲掷的概率.

【答案】设事件

为“第i 次由甲掷骰子”，记

所以由全概率公式

得

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则有

由此得递推公式

所以得

将

代入上式可得

由此得

由此可见，

这表明：骰子一直由甲掷的机会只有1/2

7． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：

【答案】

8． 设

是来自拉普拉斯（Laplace ）分布

的样本, 试给出一个充分统计量. 【答案】样本的联合密度函数为

取计量.

,

,

, 由因子分解定理,

为的充分统

二、证明题

9 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

的特征函数, 由唯一性定理知

.

, 且X 与Y 独立,

10．设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：

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