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一、计算题

1． 设X , Y 独立同分布, 都服从标准正态分布N （0, 1）, 求

【答案】因为X , Y 独立, 都服从N （0, 1）, 所以

由于

所以

2． 设

是来自密度函数为

的样本，

又因为

.

（1）求θ的最大似然估计它是否是相合估计？是否是无偏估计？ （2）求θ的矩估计

它是否是相合估计？是否是无偏估计？

【答案】（1）似然函数为

显然L （θ）在示性函数为1的条件下是θ的严増函数，因此θ的最大似然估计为又

的密度函数为

故

故不是θ的无偏估计，但是θ的渐近无偏估计. 由于

且

这说明是θ的相合估计. （2）由

于

，所以

这给

出

，从而有

这说明既是θ的无偏估计，也是相合估计.

3． 设随机变量X 服从（-1，2）上的均匀分布，记

所以θ的矩估计

为

又

试求Y 的分布列. 【答案】因为

表

4． 通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布，现观测该种布

所以Y 的分布列为

发现有126个疵点，在

显著性水平为0.05下能否认为该种布每平方分米上平均疵点数不超过1个？并给出检验的p 值.

，需要检验的假设为

【答案】以X 记每平方米上的疵点数，则可认为; f-PU ） 由于n=100, 故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是因而，检验的统计量为若取由于u 在

则

检验的拒绝域为

这里u=2.6落入拒绝域，故拒绝原

而

假设，认为该种布每平方米上的平均疵点数不超过1个的结论不成立.

成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为

5． 设随机变量Y 服从参数为λ=1的指数分布, 定义随机变量X 如下:

求

和

的联合分布列.

的联合分布列共有如下4种情况:

所以

的联合分布列为

表

【答案】

6． 设一个人一年内患感冒的次数服从参数有效（能将泊松分布的参数减少为

的泊松分布. 现有某种预防感冒的药对75%的人

），对另外的25%的人不起作用. 如果某人服用了此药，

一年内患了两次感冒，那么该药对他（她）有效的可能性是多少？

【答案】记事件A 为“服用此药后，一年感冒两次”，事件B 为“服用此药后有效因为

因此所求概率为

7． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.

【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l次，所以“正面数等于反面数”是不可能事件，由此得S=A.又由事件A 与B 的对称性知P （A ）=P，因此P （A ）=0.5.这里对称性起关键作用. （B ） 8 为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，，安排了一组试验测得其甲醇浓度x 及相应的“缩醇化度”y ．数据如下：

表

1

（1）作散点图； （2）求样本相关系数； （3）建立一元线性回归方程； （4）对建立的回归方程作显著性检验

【答案】（1）散点图如图，y 有随着x 增加而増加趋势

.

图

（2）由样本数据可以算得